建築 -> 空調導出
0. 前提
Fourierの式: $ q=-\lambda\left(\frac{\partial\theta}{\partial n}\right)
Stefan-Boltzmannの法則: $ E_b=\sigma T^4
1. 熱伝導基礎式
壁面の厚さ方向以外の温度分布が均一と仮定する。
つまり、$ \frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{\partial\theta}{\partial z}=0
このとき、Fourierの式は以下のように表される。
$ q=-\lambda\frac{\partial\theta}{\partial x}
Fourierの式より、厚さ:dx 面積:Sの壁面の単位時間あたり蓄熱量は
$ \bar q=q(x)-q(x+dx)=-\lambda S\frac{\partial\theta}{\partial x}+\lambda S\frac{\partial}{\partial x}\left(\theta+\frac{\partial\theta}{\partial x}dx\right)=\lambda S\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2} (1)
一方、比熱を用いて単位時間あたり蓄熱量を表現すると、Taylor展開と微小量の2乗項の省略により
$ \bar q=\int c\rho\frac{\partial\theta}{\partial t} dV\simeq\int_{x_0}^{x_0+dx} c\rho S\frac{\partial}{\partial t}\{\theta(x_0)+\theta'(x_0)(x-x_0)\}dx\simeq c\rho Sdx\frac{\partial\theta}{\partial t} (2)
(1)(2)式より、
$ \frac{\partial\theta}{\partial t}=a\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2} ただし $ a=\frac{\lambda}{c\rho} (一次元非定常熱伝導基礎式)
補足:同様の計算により、三次元の熱伝導基礎式は$ \frac{\partial\theta}{\partial t}=a\Delta\theta
補足2:熱伝導基礎式は放物型2階偏微分方程式であるから、離散化して解く必要がある。
$ \theta_{x,t+\varDelta t}=\theta_{x,t}+\frac{a\varDelta t}{(\varDelta x)^2}\{\theta_{x-\varDelta x,t}+\theta_{x+\varDelta x,t}-2\theta_{x,t}\}
ここで$ p=\frac{a\varDelta t}{(\varDelta x)^2}=0.5とすれば、$ \theta_{x,t+\varDelta t}=\frac{1}{2}(\theta_{x-\varDelta x,t}+\theta_{x+\varDelta x,t})
また$ p=0.25とすれば、$ \theta_{x,t+\varDelta t}=\frac{1}{2}\left(\frac{\theta_{x-\varDelta x,t}+\theta_{x,t}}{2}+\frac{\theta_{x+\varDelta x,t}+\theta_{x,t}}{2}\right) (シュミットの図解法)
2. 熱伝導
材料が均一(λ=Const.)かつ壁面の蓄熱量が変化しない(q=Const.)とする。
このとき、Fourierの式より$ \frac{\partial\theta}{\partial x}=-\frac{q}{\lambda}
両辺をx=0→dで積分して、
$ \theta_o-\theta_i=-\frac{q}{\lambda}d
$ \therefore q=\frac{\lambda}{d}(\theta_i-\theta_o)
複数の材料が直列に配置されているとき、k番目について$ q=\frac{\lambda_k}{d_k}(\theta_k-\theta_{k-1})
よって、$ q=\frac{1}{\sum(d_k/\lambda_k)}(\theta_i-\theta_o)
3. 放射熱
(i)2つの面における放射熱移動を考える。
完全拡散面を仮定すると、放射強さは$ I_n=\frac{E_b}{\pi}(建築 -> 光環境導出 3章を参照) 面1の微小面積dS1と面2の微小面積dS2について、これらを結ぶ線と法線の角度をそれぞれβ、θとする。
またそれぞれの吸収率はε1、ε2とする(放射率と等しい)。面1→面2の放射量は
$ q_{1→2}=\int_{S1}\!\int_{S2}dq_{1→2}=\int_{S1}\!\int_{S2}\epsilon_2\frac{E_1}{\pi}\frac{\cos\beta\cos\theta}{r^2}dS_2dS_1
Stefan-Bolzmannの法則より、
$ q_{1→2}=\epsilon_1\epsilon_2\sigma T_1^4\int_{S1}\!\int_{S2}\frac{\cos\beta\cos\theta}{\pi r^2}dS_2dS_1=F_{12}S_1\epsilon_1\epsilon_2\sigma T_1^4
ただし、ここで
$ F_{12}=\frac{\overline{\varphi_{12}}}{S_1}, \ \ \overline{\varphi_{12}}=\int_{S1}\!\int_{S2}\frac{\cos\beta\cos\theta}{\pi r^2}dS_2dS_1 (F:形態係数) とおいた。
同様に、面2→面1の放射量は
$ q_{2→1}=\overline{\varphi_{12}}\epsilon_1\epsilon_2\sigma T_2^4
よって、放射熱収支は
$ q=q_{1→2}-q_{2→1}=F_{21}S_2\epsilon_1\epsilon_2\sigma (T_1^4-T_2^4)
(ii)次に、入射放射の反射等も考慮した放射熱移動を考える。
入射放射量:G 射度:Jを用いると、単位面積あたりの放射エネルギーは
$ \frac{\bar q}{S}=J-G=\{\epsilon E_b+(1-\epsilon)G\}-G
よって、$ \bar q=\frac{E_b-J}{(1-\epsilon)/\epsilon S}
また、$ q_{1→2}=\frac{J_1-J_2}{1/S_1F_{12}}
よって、実質的な放射熱収支は
$ q_{net}=\frac{\sigma(T_1^4-T_2^4)}{\frac{1-\epsilon_1}{\epsilon_1S_1}+\frac{1}{S_1F_{12}}+\frac{1-\epsilon_2}{\epsilon_2S_2}}=\epsilon_{12}\sigma(T_1^4-T_2^4) (Oppenheim's Network Method (1956))
ただし、ここで
$ \epsilon_{12}=\frac{1-\epsilon_1}{\epsilon_1S_1}+\frac{1}{S_1F_{12}}+\frac{1-\epsilon_2}{\epsilon_2S_2} (有効放射率)
とおいた。
例えば平行2平面について、S1=S2かつF12=1より
$ q_{net}=\frac{\sigma(T_1^4-T_2^4)S}{1/\epsilon_1+1/\epsilon_2-1}
(iii)T2≒Ti(室温)とすると、放射熱は以下のように表せる。φ=1として、
$ q=\epsilon_1\epsilon_2\sigma(T_1^2+T_i^2)(T_1+T_i)(T_1-T_i)
ここで、T1とTiの取りうる範囲より、$ T_1^2+T_i^2や$ T_1+T_iの変動率は$ T_1-T_iのそれよりはるかに小さい。
そこで、$ α_r=\epsilon_1\epsilon_2\sigma(T_1^2+T_i^2)(T_1+T_i)(放射熱伝達率) を定数に近似すると、
$ q=\alpha_r(T_1-T_i)
4. 対流熱伝達
Newtonの冷却則より、$ q=\alpha_c(\theta_s-\theta_f)
4. 熱貫流率
3~4より、対流熱伝達と放射熱伝達はまとめて
$ q=\alpha(\theta_s-\theta_f)ただし$ \alpha=\alpha_c+\alpha_r
と表せる。
また、建物外表面の熱収支については、これに日射取得・実効放射量を加えることで表される。
αs:短波吸収率、ε:長波放射率とおくと、
$ q=\alpha_o(\theta_o-\theta_s)+a_sJ-\epsilon J_e=\alpha_o(SAT-\theta_s)
ただし、ここで$ SAT=\theta_o+\frac{1}{\alpha_o}(a_sJ-\epsilon J_e)である。
なお、この式は定常伝熱を仮定しているため、蓄熱を無視できる場合にのみ使用する。
以上より、熱貫流総量は
$ q=KS|\theta_i-\theta_o|または$ q=KS(SAT-\theta_i)
$ K=\frac{1}{1/\alpha_i+\sum(\delta_k/\lambda_k)+1/\alpha_o}
参考文献:
田中俊六ほか 「最新建築環境工学 改訂3版」